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Un autre langage ?
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE, LES PASSAGES
mercredi 30 mai 2007, par J.Zwobada Rosel


De la forme, donc du plan, à l’espace où se situe la perception du volume, l’enfant doit-il "apprendre" ou "comprendre" le changement de point de vue ? L’espace se décrit en deux ou trois dimensions, comment accompagner l’enfant dans ce passage ?

Le principe même de l’algèbre ne peut manquer de déstabiliser certains dyslexiques : comment concevoir une référence qui change tout le temps, le principe même du codage, puisque les lettres représentent n’importe quoi ? Comment retrouver le fonctionnement des opérations, lorsqu’elles se marquent avec des signes spécifiques, une place ou une marque indicielle, lorsqu’on croit maîtriser à peu près des procédures arithmétiques ?

C’est poser le problème de la figuration de la perception d’une part, et de l’abstraction d’un codage, de sa référence et de sa combinatoire, reposant sur la fonction de ce nouveau langage. Pourquoi ne pas en donner les clés ?

Tout frais dans ma mémoire, je citerai un frère et sa grande soeur.

Où il est question de "Figures"

M’hed (Diaporama ARIC 2005) a eu d’énormes difficultés à entrer dans le méta, à quelque niveau que ce soit, et à assembler les unités de base quand il a réussi à les "entendre". Il avait pourtant appris ses premières leçons de lecture, faisant illusion à la maîtresse. Il voulait désespérément apprendre et répéter, comme cette maîtresse le demandait.

M’hed se fait naître en 3 temps
M’hed se fait naître en 3 temps
Il s’est décidé en début de CE1 seulement à accepter de grandir, ce qu’il a exprimé en se figurant en train de sortir du ventre maternel, lorsque la question de sa naissance a enfin pu être posée (cf. Dessin Eveil et Entrée dans les apprentissages ppt). Pourquoi poser ce double contexte, affectif avec les difficultés de séparation, cognitif avec des difficultés d’apprentissage, en lien avec sa capacité à mettre en place de nouvelles "représentations" ?

J’ai toujours exigé de lui qu’il accepte d’ancrer ce qu’il apprenait à l’école dans des représentations concrètes, parallèlement au travail pour la lecture, je l’ai fait manipuler le boulier au cours de son apprentissage de la numération en CP, tout en l’entraînant à compter de deux en deux à l’endroit et à l’envers afin de favoriser l’autonomie mentale. Nous avions d’abord joué aux mouches, joué avec la pâte à modeler, une balance pour travailler la conservation etc. Il se considère comme fort en maths.

Je l’invite presque toujours à me montrer ce qui lui pose problème en classe, et timidement, hier (6 mois après le dessin de sa naissance), au moment de partir après avoir travaillé sur un logiciel divers aspects de structuration auditive et spatiale, il me montre son cahier où figurent les dessins des volumes de base avec leur nom. Il baisse la tête, n’en dit rien, mais son attitude témoigne de sa difficulté à reconnaître qu’il est perdu face à ces dessins.

Il connaît les formes de base, bien sûr, puisqu’il "apprend" et que de nombreux jeux l’avaient entraîné en GSM. Mais là, les explications de la maîtresse n’ont pas du être suffisamment claires !
-  Je lui demande alors tout simplement de chercher, en lui désignant le cube de son cahier, sans le nommer, un pareil parmi les objets présents dans la pièce, et de me l’apporter. Je trace alors sur la boite, le contour de la face supérieure avec mon doigt en lui demandant quelle forme cela a. Il me répond bien sûr, "le côté", "la face", incapable de transposer un savoir dans un autre cadre que celui des mots appris dans la leçon. Et si tu le dessinais, comment cela s’appellerait-il ? Le mot carré arrive presque tout de suite et son regard s’éclaire.

Il faudra reprendre la même démarche pour le parallélépipède, et je précise alors la différence entre le plan, le rectangle, avec la longueur et la largeur, et la troisième dimension introduite par la hauteur, ce qu’il a l’air de comprendre. (Nous pourrons y revenir en le remesurant).

Nous passons à la sphère et je dois l’aider car il ne voit pas du tout à quoi cela peut correspondre : je le guide avec des indications spatiales pour réaliser que le gros ballon (à côté/derrière lui) où il a appris à se tenir en équilibre en est une, et il généralise tout de suite à tous les ballons. (Nous le reprendrons plus tard avec le globe terrestre quand une occasion se présentera).

J’enchaîne sur le cylindre, pour situer le cercle, il prend une boite de cette forme, un moulin à musique, tout content, et je lui en désigne d’autres en hauteur, la tige du lampadaire, le bâton de pluie... Il trouve le cercle qui est à la base et range son cahier tout rasséréné.

Ce n’était pas si compliqué ! Je me souviens encore de l’horreur que cela avait été pour moi de fabriquer des cubes à la demande d’un prof, cela ne me faisait rien comprendre du tout. Comment cette forme bizarre pouvait-elle se transformer, l’inverse étant impensable, car dans ma propre logique (affective), l’ouvrir et l’aplatir, c’était, quelque part, le détruire.
-  Il y aurait vraiment un effet de bascule d’un monde dans un autre à travers ce changement d’espace induisant une "transformation" de forme, la perte d’un contenant concret en quelque sorte. L’angoisse surgit, d’où l’importance de l’évolution dans le champ de la maturation affective...

Je ne pense pas que M’hed soit dyslexique ou dyscalculique, il a des difficultés d’apprentissage certes, mais je ne saurais l’étiqueter...

BEP et Mathématiques : la "cata"

Amina, une des grandes soeurs de M’hed, a relativement bien "compensé" sa dyslexie. Elle parlait et lisait beaucoup trop vite pourqu’on puisse la comprendre en fin de primaire, avant sa prise en charge. Effet de brouillage à l’oral, et à l’écrit, les fautes d’orthographe. Elle avait par ailleurs un fonctionnement de type dyslexique de par sa naïveté, son impulsivité, sa bonne volonté voire sa générosité, coktail qui aboutit souvent à se faire abuser, inconscient qu’on est de certaines règles qui régissent les rapports avec les autres. Elle a toujours besoin de tout comprendre mais reste enfermée dans son propre point de vue faute de comprendre qu’il puisse y en avoir d’autres.

Dans son dessin de la famille, M’hed ne l’avait pas représentée : elle était au collège. Elle avait d’ailleurs entrepris de rééduquer la parole de sa mère pour que ce dernier n’ait pas les mêmes difficultés de parole que son frère aîné. En vain d’ailleurs (cf. Aric 2003.

Au collège, elle a voulu se débrouiller seule, sauf pour les fractions, les divisions car non seulement elle ne savait toujours pas ses tables et n’envisageait pas de faire l’effort nécessaire pour les automatiser, mais n’avait pas encore les procédures des divisions à plusieurs chiffres ! Nous avions donc repris quelques séances dans le contexte de son adaptation à ce nouvel environnement. Il y avait aussi à discuter de son surpoids, de ses vêtements trop serrés et l’effet qu’ils faisaient, ce dont elle n’avait pas conscience... les parents, d’une autre culture d’origine, ne pouvant poser des normes adaptées dans leur souci d’intégration...

Elle prépare maintenant un BEP commerce, le père est commerçant, et elle pourra travailler avec lui. Accompagnant son petit frère, elle me dit ce jour-là qu’elle compense sa nullité en maths par le reste. C’est l’algèbre où elle ne "comprend" rien.

S’engage alors la discussion de base sur "comprendre" et "apprendre", car elle me dit expressément "je ne comprends pas". Nous en avions déjà parlé, dans le temps, mais ce n’était manifestement pas "passé"...
-  En effet je rappelle que, selon mon hypothèse de travail, les mots glissent, sans faire sens par défaut d’ancrage, et je préciserais maintenant, non seulement d’un point de vue "sémantique", mais "motivationnel", lorsque l’enfant est prêt et pose la question dans ses propres termes.
-  Elle n’avait jusqu’alors pas pensé d’elle-même à me le demander , mais je considère sa remarque comme une demande indirecte.

Je commence par l’équation de base, des choux et des raves ce n’est pas pareil (-non) et cela fait des légumes ? (-oui). Et bien imagine qu’on prend une lettre pour désigner chacun, n’importe quelle lettre au lieu de dire son nom...
-  Je pose ainsi non seulement la relation d’inclusion et la construction d’un pseudo-concept (Vygotski), mais pour la forme de l’équation, le principe d’un codage des unités de base.

Elle cherche à se rappeler d’exemples où elle ne comprenait pas et met "x" sur le tapis. Je parle alors de règles dans les choix des lettres comme suivre l’ordre alphabétique, et décider que "x" représente ce qu’on ne connaît pas et qu’on cherche à trouver.
-  Je pose ainsi le principe de l’arbitraire d’une convention qui définit des règles qui deviendront spécifiques de ce "langage".

Comment chercher et trouver des réponses aux problèmes posés, comment interpréter les formules qu’on lui propose pour l’y aider (on les leur donne en bas de l’exercice, mais elle ne sait comment les appliquer) ?

On entre dans la lecture d’une formule, lecture qui passe par la compréhension de sa syntaxe et met en jeu un "savoir et un savoir faire arithmétique pour la traduction d’une langue dans l’autre : le langage mathématique, le pouvoir faire avec dans un raisonnement qui nécessite l’interprétation des données en langage ordinaire (langue naturelle diraient les linguistes).

J’écris alors, prudemment, sans trop savoir si je vais m’en sortir (c’était l’horreur pour moi aussi), l’équation a+b=c et nous convenons que 2+3=5, pas de problème mais qu’est-ce que cela devient si on met 3a+b ? comment faire pour trouver c ?. Nous raisonnons, a+a+a, cela fait bien 3a et bien cela va être 2+2+2, 6 ou, et c’est là que l’additif se transforme et commence à poser problème, 3 fois 2.
-  Il ne faut pas oublier l’ambiguïté (que nous avions travaillée) de la formulation des "fois" quand on apprend à lire les énoncés lorsqu’on remplace le signe x "multiplié par" par "fois", sans tenir compte de l’inversion syntaxique de l’énoncé, non pertinente en langage mathématique (voir la partie (cf. Langue Nombre et Mathématiques). S’ils ont la même "valeur" 3x2=2x3=6 dans les deux cas, si a+b=b+a, on ne peut dire 3b+a comme équivalent de l’énoncé précédent, dans la mesure où, implicitement, l’enfant associe la lettre a, donc sa valeur, à la première place dans l’énoncé.
Il y aurait conflit entre une valeur en soi et une valeur de place.
La syntaxe n’a plus le même sens, car elle est purement formelle, alorsqu’un dyslexique s’y retrouve en langue, grâce à des repères de construction de sens. Le signe étiquette de De Saussure a la vie longue, dans la difficulté à fonctionner comme signe en tant que rapport entre Signifiant et signifié, et le symbole mathématique n’échappe pas à cette règle.

J’enchaîne immédiatement, car elle l’admet sans peine, que se passe-t-il lorsqu’il y a “a²”, on change de système ! On passe dans les "x par", multiplié par lui-même (nous avions vu rapidement le principe des puissances deux ans avant).
-  Elle connaît donc le carré, il fallait souligner le fait que les équations combinent les deux systèmes, additif, multiplicatif...

On développe un exemple, mais alors, que vient faire le x (lettre) dans le système ?

-  C’est, par convention, l’objet, le nombre que l’on cherche, "l’inconnu" que l’on doit trouver à partir des informations que l’on nous donne. Rappelle-toi les opérations à faire dans les problèmes, elles servaient à trouver la solution des problèmes en répondant aux questions qui se posent. Ici, ce sont les formules qui, développées, réorganisées, permettent de trouver la réponse.

Il y a donc les sacro-saintes formules, à développer. 15 jours avant l’examen, il est un peu tard pour vérifier sa compréhension de ce rappel, de ces explications construites ensembles, tout au plus a-t-elle pu y glaner une intuition d’y comprendre enfin quelque chose, non sur les mathématiques, mais sur comment ça marche !

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